「动态规划」01背包问题真不难

01背包问题

假设你是个小偷，背着一个可装 4 磅东西的背包。你可盗窃的商品有如下 3 件:

为了让盗窃的商品价值最高，你该选择哪些商品?

暴力搜索

暴力搜索法会将每种组合都尝试一遍后找到最优解，显而易见这种算法的时间复杂度为O($2^n$)，只要问题扩大到一定规模，这个算法一定行不通。

动态规划

动态规划先解决子问题，再逐步解决大问题。

对于背包问题，你先解决小背包(子背包)问题，再逐步解决原来的问题。

按照这个思想，我们尝试将背包容量逐步缩小到 4、3、2、1，计算不同容量的背包所能承载的最大价值。进而，我们可以画出来一个表格，列代表不同容量的背包，行代表不同种类物品。

这是一个表格，也是一个行列式，我们将这个行列式命名为 dp，dp[3][3] 的值就是题解。我们一步步把行列式的值填满，最终行列式被完全填满后，题解自然水落石出。

填满行列式

第一行是吉他行，这意味着我们尝试将吉他装入背包，在每一个单元格都需要做一个决定：要不要把吉他放到背包里。第一个单元格表示背包的容量为 1 磅。吉他的重量也是 1 磅，这意味着它能装入背包！因此这个单元格包含吉他，价值为 ¥1500。

到了下一个单元格，它表示背包的容量为 2 磅，完全能够装下吉他！但是我们只有一把吉他，所以总价值还是 ¥1500。同理，容量为 3、4 磅的背包总价值保持 ¥1500 不变。

来到第二行，可偷的商品有吉他和音响。

音响重 4 磅，所以第二行的前三个格子只能选择吉他，价值 ¥1500。到了第 4 个格子，我们就可以选择更贵的音响，总价值 ¥3000。

来到第三行，可偷的商品有吉他、音响、笔记本电脑。

笔记本电脑重 3 磅，所以第 3 行的前 2 个格子只能选择吉他，价值 ¥1500。到了第 3 个格子，我们就可以选择更贵的笔记本电脑，总价值 ¥2000。

选择了笔记本电脑后，我们还有 1 磅的空间，此时应该选择什么呢？

dp[1][0]已经告诉了我们答案：在背包只有 1 磅容量且仅能选择吉他和音响时，其最大价值为 ¥1500，加上笔记本的 ¥2000 总价值为 ¥3500，超过了上一行的最大价值 ¥3000，刷新了最大价值记录，同时也拿到了最终的题解。

我们成功利用动态规划解决了这个问题，我们合并了两个子问题的解来得到更大问题的解！

状态转移方程

“状态转移方程"这个名字听起来很吓人，其实说白了就是用公式来表示我们上面的策略，写出来公式我们才能用代码求解具体问题。

总结来说，选物品的策略有两种：

有了这个公式化的策略，写代码还真就是最简单的一步了～

参考：

1. 《算法图解》